Finanzmathematik – Wikipedia

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Metrics details Zusammenfassung. Mit der allgemein stark gewachsenen Bedeutung der Finanztermingeschäfte haben in den vergangenen Jahren insbesondere nach Gründung der DTB Deutsche Terminbörse GmbH auch in Deutschland Optionskontrakte bei der Absicherung von Devisengeschäften der Exportindustrie wie auch bei der Absicherung von Vermögensanlagen institutioneller Anleger ein immer stärkeres Gewicht erhalten. Damit einherging eine stärkere Beschäftigung mit den zugrundelie genden theoretischen Modellen nicht nur der davon unmittelbar betroffenen Praktiker, sondern auch eine stärkere wissenschaftliche Beachtung der überwiegend im angelsächsischen Bereich seit Anfang der siebziger Jahre entwickelten stochastischen Methoden zur Berechnung von Optionspreisen.

Der Preis einer Option hängt zum einen von ihren Ausstattungsmerkmalen ab, hier der aktuelle Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis, die Restlaufzeit bis zum Ausübungsdatum, zum mathematische option von dem zugrunde gelegten Modell für die zukünftige Entwicklung des Basiswertes und anderer Marktparameter. Je stärker der Preis schwankt, umso höher ist die Wahrscheinlichkeitdass sich der Wert des Basiswertes stark verändert mathematische option damit der innere Wert der Option steigt oder sinkt.

In der Regel gilt, dass eine höhere Volatilität einen positiven Einfluss auf den Wert der Option hat. In extremen Grenzfällen kann es sich jedoch genau umgekehrt verhalten. Die Restlaufzeit beeinflusst den Wert der Option ähnlich wie die Volatilität.

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Je mehr Zeit bis zum Ausübungsdatum vorhanden ist, umso höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der innere Wert der Option ändert. Ein Teil des Wertes der Option besteht aus diesem Zeitwert. Es ist theoretisch möglich, den Zeitwert zu berechnen, indem man zwei Optionen vergleicht, die sich nur durch ihre Laufzeit unterscheiden und ansonsten identisch sind.

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Dies setzt aber den unrealistischen Fall eines nahezu vollkommenen Kapitalmarkts voraus. Der Anstieg des risikofreien Zinssatzes hat einen positiven Effekt auf den Wert von Kaufoptionen Call-Option und einen negativen Effekt auf den Wert von Verkaufsoptionen Put-Optionweil nach den gängigen Bewertungsmethoden die Wahrscheinlichkeit eines Kurs- oder Wertanstiegs des Basisguts an den risikofreien Zinssatz gekoppelt ist.

Das liegt daran, dass das Geld, das dank des Calls nicht in einen Basiswert investiert werden muss, zinsbringend angelegt werden kann.

Finanzmathematik

Je höher die Zinsen mathematische option alternativen Geldanlage sind, desto attraktiver ist der Kauf eines Calls. Beim Put ist die Situation umgekehrt: Je höher das Zinsniveau, desto niedriger ist der Zeitwert des Puts, weil man theoretisch den Basiswert der Option besitzen müsste, um das Verkaufsrecht in Anspruch nehmen zu können.

Dividendenzahlungen im Falle von Optionen auf Aktien haben negativen Einfluss auf den Wert einer Kaufoption im Vergleich zur selben Aktie bei Dividendenlosigkeit, da während der Optionshaltedauer auf Dividenden verzichtet wird, die theoretisch durch Ausübung der Option vereinnahmt werden können.

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Umgekehrt haben sie im Vergleich zur selben mathematische option Aktie einen positiven Einfluss auf den Wert einer Verkaufsoption, weil während der Optionshaltedauer noch Dividenden vereinnahmt werden können, die bei sofortiger Ausübung dem Optionsinhaber zuständen.

Er verliert damit maximal den Optionspreis — realisiert also einen Totalverlust —, hat aber die Möglichkeit auf einen unbegrenzten Gewinn bei Kaufoptionen.

Dies bedeutet, dass die möglichen Verluste des Verkäufers bei Kaufoptionen unbegrenzt sind.

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Die folgenden Grafiken verdeutlichen die asymmetrische Auszahlungsstruktur. Wichtig für das Verständnis ist, dass der Käufer einer Option eine long position eingeht und der Verkäufer einer Option eine Short-Position eingeht.

In allen vier Fällen ist der Wert der Option 10 und der Ausübungspreis In der vorherigen Grafik ist zu sehen, dass der Käufer long des Calls einen maximalen Verlust von 10 hat, hingegen unbegrenzte Gewinnmöglichkeiten besitzt. Im Gegensatz dazu hat der Verkäufer short einen maximalen Gewinn von 10 mit unbegrenzten Verlusten.

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Im Falle eines Puts hat der Käufer long ebenfalls einen maximalen Verlust von Ein häufiger Fehler ist die Übertragung der unbegrenzten Gewinnmöglichkeit der Kaufoption auf die Verkaufsoption. Das Basisgut kann aber allenfalls den Kurswert null annehmen. Dadurch ist die maximale Gewinnmöglichkeit auf diesen Fall eines Kurses von null begrenzt.

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Genau wie beim Call hat der Verkäufer short einen maximalen Gewinn von 10 mit nunmehr nur begrenzten Verlusten, wenn der Kurs des Basiswerts null annimmt. Berechnung des Optionspreises[ Bearbeiten Quelltext bearbeiten ] In der Optionspreistheorie gibt es prinzipiell zwei Herangehensweisen zur Bestimmung des fairen Optionspreises: Mit Hilfe von Abschätzungen ohne Annahmen über mögliche zukünftige Aktienkurse und deren Wahrscheinlichkeiten Verteilungsfreie No-Arbitrage-Beziehungen, siehe: Optionspreistheorie Durch mögliche Aktienkurse und risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten.

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Hierzu zählen das Binomialmodell sowie das Black-Scholes-Modell Prinzipiell ist es möglich, die stochastischen Prozesse, welche den Preis des Basiswertes bestimmen, auf unterschiedliche Weise zu modellieren. Man kann diese Prozesse analytisch zeitkontinuierlich mit Differentialgleichungen und analytisch zeitdiskret mit Binomialbäumen abbilden.

  • Allerdings fand sie erst über 50 Jahre später Verbreitung, nachdem sie ins Englische übersetzt worden war.
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Eine nichtanalytische Lösung ist durch Zukunftssimulationen möglich. Das bekannteste analytisch zeitkontinuierliche Modell ist das Modell von Black und Scholes.

Mathematische option gängige Simulationsmethode ist die Monte-Carlo-Simulation.

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Niemand würde diese Option kaufen wollen, weil der Basiswert selbst günstiger zu erwerben ist, der offensichtlich mehr wert ist als die Option. Da zum Beispiel eine Aktie als Basiswert keine Verpflichtungen beinhaltet, kann diese gekauft und deponiert werden. Bei Bedarf wird sie wieder hervorgeholt.

Diese Annahme gilt nicht, falls das zu handelnde Produkt beträchtliche Lagerkosten verursacht. In diesem Fall kann die Call-Option den Basiswert um die bis zum Fälligkeitsdatum zu erwartenden Lagerkosten überschreiten.

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Eine Put-Option kann nicht mehr wert sein als der Barwert des Ausübungspreises. Die Put-Call-Parität ist eine Beziehung zwischen dem Preis eines europäischen Calls und dem Preis eines europäischen Puts, wenn beide den gleichen Basispreis und das gleiche Fälligkeitsdatum haben: p.

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